Question

设函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）试用a表示b；
（Ⅱ）当a＜

1

2

时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当a=-3时，对?x₁，x₂∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导函数，令导函数在x=1处的值为0，列出方程求出a，b的关系．
（II）求出f（x）的导函数，通过对导函数的二次项系数的符号的讨论及导函数的两个根大小的讨论，判断出函数的单调区间．
（III）通过（II）得到f（x）当a=3时，函数的单调性，求出f（x）在[1，2]上的最大值及最小值，不等式得证．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1，
f'（x）=ax²-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax²-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵a＜

1

2

，
（1）当a=0时，f'（x）=1-x，f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞）；
（2）当a≠0时，f′(x)=(x-1)[ax-(1-a)]=a(x-1)[x-(

1

a

-1)]，
若0＜a＜

1

2

，则

1

a

-1＞1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＞0，
∴x＞

1

a

-1或x＜1；
由f'（x）＜0得1＜x＜

1

a

-1；
∴f（x）的递增区间为（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，递减区间为(1，

1

a

-1)．
若a＜0，则

1

a

-1＜1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＜0，
∴

1

a

-1＜x＜1．
由f'（x）＜0得x＞1或x＜

1

a

-1，
∴f（x）的递增区间为(

1

a

-1，1)，递减区间为(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
综上所述，当0＜a＜

1

2

时，f（x）的递增区间为（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，递减区间为(1，

1

a

-1)；
当a=0时，f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的递增区间为(

1

a

-1，1)，递减区间为(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
（Ⅲ）当a=-3时，f(x)=-x3-

1

2

x2+4x+1，
由（Ⅱ）知，函数f（x）在x∈[1，2]为减函数，
∴x∈[1，2]，f(x)max=f(1)=

7

2

，f（x）_min=f（2）=-1，
∴对?x₁，x₂∈[1，2]，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=

9

2

，
即|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

点评：函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；求函数的单调性，一般利用导函数的符号与单调性的关系，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减；含参数的函数的单调性，一般需要讨论．