Question

在非等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

2c-b

2b-c

=

cosB

cosC

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC的面积的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）解法一，利用余弦定理化简表达式为三角形的边的关系，然后利用余弦定理求出角A的大小；
解法二，化简表达式，利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，求出cos(C+B)=-

1

2

，即可求解A的大小．
（2）a=4，通过余弦定理求出bc的最大值，然后求△ABC的面积的取值范围．

解答： 解：（1）解法一：由余弦定理可知：

2c-b

2b-c

=

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

，去分母可得：c（2c-b）[a²+（b²-c²）]=b（2b-c）[a²-（b²-c²）]
即：2a²（b²-c²）]=（c²-b²）（2bc-2b²-2c²）
因为三角形为非等腰三角形，故（b²-c²）≠0，
故a²=b²+c²-bc，即cosA=

1

2

，A=60°
解法二：因为（2c-b）cosC=（2b-c）cosB，
所以（2sinC-sinB）cosC=（2sinB-sinC）cosB，
则sin2C-sin2B=sin（B-C），…（2分）
所以sin[（B+C）-（B-C）]-sin[（B+C）+（B-C）]=sin（B-C）2cos（C+B）sin（C-B）=sin（B-C）．
因为△ABC不是等腰三角形，所以sin（B-C）≠0，
则cos(C+B)=-

1

2

，所以C+B=120°，因此A=60°．…（4分）
（2）根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，有16=b²+c²-bc…（5分）
因为b²+c²≥2bc（当且仅当b=c=2时不等式取等号）
所以16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤16，…（6分）
所以△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

，
且当a=b=c=4时等号取到，又因为△ABC不是等腰三角形，所以S＜4

3

；
又显然S＞0，所以△ABC的面积的取值范围是(0，4

3

)．…（8分）

点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．