若曲线y=f(x)在点A(x1.y1)处切线的斜率为kA.曲线y=g(x)在点B(x2.y2)处切线的斜率为kB(x1≠x2).将$\frac{|{k} {A}-{k} {B}|}{|AB|}$的值称为这两曲线在A.B间的“异线曲度 .记作φ(A.B)．现给出以下四个命题:①已知曲线f(x)=x3.g(x)=x2-1.且A＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．若曲线y=f（x）在点A（x₁，y₁）处切线的斜率为k_A，曲线y=g（x）在点B（x₂，y₂）处切线的斜率为k_B（x₁≠x₂），将$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$的值称为这两曲线在A，B间的“异线曲度”，记作φ（A，B）．现给出以下四个命题：
①已知曲线f（x）=x³，g（x）=x²-1，且A（1，1），B（2，3），则φ（A，B）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②存在两个函数y=f（x），y=g（x），其图象上任意两点间的“异线曲度”为常数；
③已知抛物线f（x）=x²+1，g（x）=x²，若x₁＞x₂＞0，则φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
④对于曲线f（x）=e^x，g（x）=e^-x，当x₁-x₂=1时，若存在实数t，使得t•φ（A，B）＞1恒成立，则t的取值范围是[1，+∞）．
其中正确命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析 ①根据新定义，判断φ（A，B）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出①错误；
②举例说明存在φ（A，B）=0是常数，得出②正确；
③验证φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，判断③正确；
④判断φ（A，B）对t•φ（A，B）＞1恒成立时，t的取值范围是什么，得出④正确．

解答解：对于①，∵f（x）=x³g（x）=x²-1，∴f′（x）=3x²，g′（x）=2x
∴k_A=3×1²=3，k_B=2×2=4，且|k_A-k_B|=1，
则|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴φ（A，B）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①错误；
对于②，如f（x）=c₁，g（x）=c₂，且c₁≠c₂时，存在不同的两点A、B，使k_A=k_B=0，∴φ（A，B）=0是常数，②正确；
对于③，∵f（x）=x²+1g（x）=x²
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{1}-2{x}_{2}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+[（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}+2{x}_{2}]^{2}}}$
≤$\frac{2}{\sqrt{1+（2+2{x}_{2}）^{2}}}$＜$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴③正确；
对于④，由f（x）=e^x，得f′（x）=e^x，
g（x）=e^-x，得g′（x）=-e^-x，
∴φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{2}}）^{2}}}$，
t•φ（A，B）＞1恒成立，即t|${e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{2}}$|＞$\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，
∴t＞1，∴④正确．
故选：C．

点评本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，选出符合题意的答案，是较难的题目．

试题分类