题目内容
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值.
设
＝a，
＝b，
＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝
.
(1)|
|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6.
∴AC1＝||＝
.
(2)
＝b＋c－a，
＝a＋b.
∴||＝
，||＝
.
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝
.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.
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