Question

19．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，∠DAB=60°，AA₁⊥面ABCD，且AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（1）求证：FM⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱锥D₁-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）通过底面是菱形，证明AC⊥面BDD₁B₁，然后证明MF⊥面BDD₁B₁．
（2）利用转换底面，即可求三棱锥D₁-BDF的体积．

解答 （1）证明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD
又∵B₁B⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵MF∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁．
（2）解：由题意，B到平面AD₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
三棱锥D₁-BDF的体积=三棱锥B-D₁DF的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查空间想象能力，直线与平面平行的证明方法，判定定理的应用，考查求三棱锥D₁-BDF的体积．