Question

已知函数f（x）=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

，且g(x)=f(x+

π

3

)．
（1）判断g（x）的奇偶性
（2）求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，两角和的正弦公式，化简f（x），再由余弦函数的奇偶性即可判断g（x）的奇偶性；
（2）运用余弦函数的增区间，解不等式，即可得到所求的增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

（1-2sin²

x

4

）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2（

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

3

）
则g（x）=f（x+

π

3

）=2sin（

x

2

+

π

2

）=2cos

x

2

，
g（-x）=2cos（-

x

2

）=2cos

x

2

=g（x），
则g（x）为偶函数；
（2）g（x）=2cos

x

2

，
由2kπ-π≤

x

2

≤2kπ，解得，4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z，
则g（x）的单调递增区间为[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．