Question

20．已知△ABC中，D为AC的中点，AB=3，BD=2，cos∠ABC=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求BC；
（Ⅱ）求sinA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，由和差角的三角函数可得sin∠ABD的值，由2S_△ABD=S_△ABC可得BC的方程，解方程可得；
（Ⅱ）由余弦定理可得AC的值，再由余弦定理可得cosA，由同角三角函数基本关系可得sinA．

解答 解：（Ⅰ）作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，
由题意可得sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴AE=ABsin∠ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，由中位线可得DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{15}}{8}$，
∴sin∠DBC=$\frac{DF}{BD}$$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，cos∠DBC=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{15}}{16}）^{2}}$=$\frac{11}{16}$，
∴sin∠ABD=sin（∠ABC-∠DBC）=$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{11}{6}$-$\frac{1}{4}×\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∵D为AC的中点，∴2S_△ABD=S_△ABC，
∴2×$\frac{1}{2}$AB•BD•sin∠ABD=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC，
∴2×$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{1}{2}$×3×BC×$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
解得BC=2；
（Ⅱ）由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC
=9+4-2×3×2×$\frac{1}{4}$=10，∴AC=$\sqrt{10}$，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{3}^{2}+（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}{2×3×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查解三角形，涉及三角形的面积公式和余弦定理的应用，属中档题．