题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为 ．
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考点：简单线性规划
专题：不等式的解法及应用
分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式即可得到结论．
解答：
解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-
x+
，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-
＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-
x+
，由图象可知当直线y=-
x+
经过点A时，直线y=-
x+
的截距最大，此时z最大．
由
，解得
，即A（2，4），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，
即2a+4b=8，∴a+2b=4，
则4=a+2b≥2
，
∴ab≤2
当且仅当a=2b=2，即a=2，b=1时取等号．
故答案为：2
| a |
| b |
| z |
| b |
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-
| a |
| b |
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
由
|
|
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，
即2a+4b=8，∴a+2b=4，
则4=a+2b≥2
| 2ab |
∴ab≤2
当且仅当a=2b=2，即a=2，b=1时取等号．
故答案为：2
点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．
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