Question

【题目】在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）上是否存在点，使得三棱锥的体积是三棱锥体积的.若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）为的中点；理由见详解.

【解析】

（1）先取中点为，连接，根据题意，证明四边形为矩形，求出，推出，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，得到平面；进而可证明面面垂直；

（2）取中点为，连接， 根据题意，证明平面；求出三棱锥的体积为，再求得三棱锥的体积为，得到，再由三棱锥的体积是三棱锥体积的，得到，进而可得出结果.

（1）取中点为，连接，因为四边形是直角梯形，，且，，所以，且，

又，所以四边形为矩形，所以，

因此，

又，所以，因此；

因为底面，所以，

因为，平面，平面，

因此平面；

又平面，所以平面平面；

（2）为的中点，理由如下：

取中点为，连接，

因为，所以，

由底面，平面，可得：平面底面，

因为平面底面，

所以平面；

因此三棱锥的体积为，

又由（1）易知：平面，因为是的中点.

所以三棱锥的体积为，

即，

因此为使三棱锥的体积是三棱锥体积的，

只需，

因此只需点到平面的距离等于的一半，

又点在上，所以为的中点.