题目内容
【题目】设椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，且内切于圆
.
(1)求椭圆M的方程；
(2)已知R
是椭圆M上的一动点，从原点O引圆R:
的两条切线，分别交椭圆M于P、Q两点，直线OP与直线OQ的斜率分别为
，试探究
是否为定值并证明你所探究出的结论.
【答案】（1）
（2）
为定值36，证明见解析
【解析】
（1）椭圆内切于圆，得出圆的长半轴长，根据离心率求出半焦距便可得解；
（2）依据直线与圆相切，得出
的关系和切点坐标，可用
的关系表示，整体代换即可求出定值.
解：(1)∵双曲线
的离心率为
，
∴椭圆M的离心率为
∵椭圆M内切于圆
，
的半径为
得：
所求椭圆M的方程为：
(2)设直线OP：
，OQ：
，设圆R过O点的切线方程为：
则有：
，整理得：
故
，又
可得：
将代入得：
同理可得：
故为定值36
【题目】某同学用“随机模拟方法”计算曲线
与直线
所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0，1]上的均匀随机数
，其数据如下表的前两行．
x | 2.50 | 1.01 | 1.90 | 1.22 | 2.52 | 2.17 | 1.89 | 1.96 | 1.36 | 2.22 |
y | 0.84 | 0.25 | 0.98 | 0.15 | 0.01 | 0.60 | 0.59 | 0.88 | 0.84 | 0.10 |
lnx | 0.90 | 0.01 | 0.64 | 0.20 | 0.92 | 0.77 | 0.64 | 0.67 | 0.31 | 0.80 |
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
（1）求图中
的值；
（2）根据已知条件完成下面
列联表，并判断能否有
的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为
，求的分布列与数学期望
．
（参考公式：
，其中
）
| 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
