题目内容
设全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}，C={x|a-2＜x＜2a}．求：
（1）A∩B；A∪B；（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
（1）A∩B；A∪B；（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算
专题：集合
分析：（1）求出集合B，根据交、并、补的运算即可求得第一问；
（2）A∪C=A，得到C⊆A，所以分C=∅和C≠∅两种情况，分别求这两种情况下的a的取值，再求并集即可．
（2）A∪C=A，得到C⊆A，所以分C=∅和C≠∅两种情况，分别求这两种情况下的a的取值，再求并集即可．
解答：
解：（1）B={x|x≥3}；
∴A∩B={x|2＜x＜6}∩{x|x≥3}={x|3≤x＜6}，A∪B={x|2＜x＜6}∪{x|x≥3}={x|x＞2}，（CUA）={x|x≤2或x≥6}，（CUA）∩B={x|x≤2或x≥6}∩{x|x≥3}={x|x≥6}；
（2）若A∪C=A，则C⊆A；
①当a-2≥2a时，即a≤-2时，C=∅此时C=∅⊆A；
②当a-2＜2a时，即a＞-2时，C≠∅，∵C⊆A，∴
，解得a∈∅；
综上所述：实数a的取值范围（-∞，-2]．
∴A∩B={x|2＜x＜6}∩{x|x≥3}={x|3≤x＜6}，A∪B={x|2＜x＜6}∪{x|x≥3}={x|x＞2}，（CUA）={x|x≤2或x≥6}，（CUA）∩B={x|x≤2或x≥6}∩{x|x≥3}={x|x≥6}；
（2）若A∪C=A，则C⊆A；
①当a-2≥2a时，即a≤-2时，C=∅此时C=∅⊆A；
②当a-2＜2a时，即a＞-2时，C≠∅，∵C⊆A，∴
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综上所述：实数a的取值范围（-∞，-2]．
点评：考查集合的交、并、补的运算，子集的概念，空集．
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