Question

13．已知条件p：实数x使得函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$+lg（5-x）有意义．条件q：m＜x＜2m+1（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1，且“p∧q为假，￢p为假“时，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出p，q为真时的x的范围，再结合“p∧q为假，￢p为假”的条件，得到不等式组，解出x的范围即可；
（Ⅱ）分别记A={x|-1＜x＜5}，B={x|m＜x＜2m+1}，根据条件得到B?A，通过讨论B是否为∅，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由p得：-1＜x＜5，
当m=1时，q：1＜x＜3，
“p∧q为假，￢p为假”知：p真q假，
由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜5}\\{x≤1或x≥3}\end{array}\right.$得：-1＜x≤1或3≤x＜5，
∴实数x的取值范围是（-1，1]∪[3，5）；
（Ⅱ）∵￢p是￢q的充分条件，
∴p是q的必要条件，
记A={x|-1＜x＜5}，B={x|m＜x＜2m+1}，
则B?A，
①当B=∅，即m≥2m+1，即m≤-1时：B?A成立，
∴m≤-1满足题意；
②当B≠∅，即m＜2m+1，即m＞-1时，
由B?A可得$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{2m+1≤5}\end{array}\right.$，解得：-1≤m≤2，又m＞-1，
∴-1＜m≤2，
综上：m≤2．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查对数函数的性质，是一道中档题．