Question

4．已知F₁，F₂为椭圆ax²+y²=4a（0＜a＜1）的两个焦点，A（0，2），点P为椭圆上任意一点，则|PA|-|PF₂|的最小值是（　　）

• A． a
• B． 2a
• C． 2$\sqrt{1-a}$-4
• D． 2$\sqrt{2-a}$-4

Answer 1

分析 求得椭圆的标准方程：根据椭圆的定义求得|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4≥|AF₁|-4，利用两点之间的距离公式，即可求得|PA|-|PF₂|的最小值．

解答 解：由椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4a}=1$，由0＜a＜1，则椭圆的焦点在x轴上，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），c²=4-4a，
由椭圆的定义：|PF₁|+|PF₂|=4，
即|PF₂|=4-|PF₁|，
则|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4，
≥|AF₁|-4=2$\sqrt{{c}^{2}+4}$-4=2$\sqrt{2-a}$-4，
当A，P，F₁共线时，|PA|-|PF₂|的最小值2$\sqrt{2-a}$-4，
故选：D．

点评 本题考查椭圆方程与性质，考查用椭圆的定义，运用三点共线取得最小值的方法，考查计算能力，属于中档题．．