Question

9．F是抛物线y²=-4x的焦点，点P（x，y）在抛物线上，且x+y+1≥0，A（-2，1），则△PAF的面积的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知可得当x+y+C=0与抛物线y²=-4x相切时，切点即为满足条件的P点，求出相应三角形的面积，可得答案．

解答 解：∵F是抛物线y²=-4x的焦点，
∴F点的坐标为（-1，0），
∵A（-2，1），
∴|AF|=$\sqrt{2}$，AF所在的直线即x+y+1=0，
又∵点P（x，y）在抛物线上，且x+y+1≥0，
则当x+y+C=0与抛物线y²=-4x相切时，切点即为满足条件的P点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=-4x\\ x+y+C=0\end{array}\right.$得：y²-4y-4C=0，
则△=16+16C=0，解得：C=-1，
此时P点到直线x+y+1=0的距离，即△PAF的高d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故此时△PAF的面积的最大值为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是抛物线的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离公式，难度中档．