Question

17．设函数f（x）=${\frac{1-a}{2}x}^{2}$+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a＞2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（2）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得m＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2a}$，从而可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=${\frac{1-a}{2}x}^{2}$+ax-lnx．
∴f′（x）=（1-a）x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{（1-a）{x}^{2}+ax-1}{x}$，
由a＞2得：f′（x）=0时，x=1，或x=$\frac{1}{a-1}$∈（0，1），
∴当x∈（0，$\frac{1}{a-1}$）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{a-1}$，1）时，f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（0，$\frac{1}{a-1}$），（1，+∞）为减函数，在区间（$\frac{1}{a-1}$，1）上为增函数；
（2）由（1）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$+ln2，
∴ma+ln2＞$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$+ln2，
而a＞0经整理得m＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2a}$，
由2＜a＜3得-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2a}$＜0，
所以m≥0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．