Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*） 
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），可得${a}_{2}=\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{2}{6}$．…，可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
（2）由（1）可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．通过作商即可判断出单调性．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
∴${a}_{2}=\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{2}{6}$．
…，
可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
（2）由（1）可得：${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{2}{n+2}}{\frac{2}{n+1}}$=$\frac{n+1}{n+2}$＜1，
∴a_n+1＜a_n．
∴数列{a_n}单调递减．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的单调性、作商法，查了推理能力与计算能力，属于中档题．