Question

12．已知函数f（x）=|x-1|+|x-t|（t∈R）
（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[-1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）问题等价于a≤f（x）-x，令g（x）=f（x）-x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当t=2时，f（x）=|x-1|+|x-2|，
若x≤1，则f（x）=3-2x，于是由f（x）＞2，解得x＜$\frac{1}{2}$，综合得x＜$\frac{1}{2}$；
若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；
若x≥2，则f（x）=2x-3，于是由f（x）＞2，解得x＞$\frac{5}{2}$，综合得x＞$\frac{5}{2}$
∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$，或x＞$\frac{5}{2}$}．  
（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）-x，令g（x）=f（x）-x，
当-1≤x≤1时，g（x）=1+t-3x，显然g（x）_min=g（1）=t-2，
当1＜x＜t时，g（x）=t-1-x，此时g（x）＞g（1）=t-2，
当t≤x≤3时，g（x）=x-t-1，g（x）_min=g（1）=t-2，
∴当x∈[1，3]时，g（x）_min=t-2，
又∵t∈[1，2]，
∴g（x）_min≤-1，即a≤-1，
综上，a的取值范围是a≤-1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．