题目内容

设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．
（1）若a，b＞0， $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，求H的最小值．

（1）证明：∵h=min{a， $\text{[math]}$ ，
∴0＜h≤a， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．--------（4分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
当且仅当a=b时取等号
∴ $\text{[math]}$ ．
所以H的最小值为 $\text{[math]}$ ---------（10分）
分析：（1）利用最小值的定义得到0＜h≤a， $\text{[math]}$ ，利用不等式的性质得到 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式得到 $\text{[math]}$ ．
（2）利用最大值的定义得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用不等式性质将三个不等式相乘及基本不等式得到H³≥2得到H的最小值．
点评：利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．