Question

17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=$\sqrt{7}$．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，sin$∠CBA=\frac{\sqrt{21}}{6}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（2）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．

解答 解：（1）∵AD=1，CD=2，AC=$\sqrt{7}$．
∴cos∠CAD=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2•AD•AC}$=$\frac{1+7-4}{2×1×\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
 （2）∵cos∠BAD=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∴sin∠BAD=$\sqrt{1-\frac{7}{196}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∵cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，可得：sin∠CAD=$\sqrt{1-\frac{4}{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$-$\frac{\sqrt{7}}{14}×$$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{35\sqrt{3}}{98}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，
∴BC=$\frac{AC•sin∠BAC}{sin∠ABC}$=$\frac{\sqrt{7}×\frac{35\sqrt{3}}{98}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}$=$\frac{15}{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．