Question

已知函数定义在区间上，，且当时，恒有．又数列满足．
（Ⅰ）证明：在上是奇函数；
（Ⅱ）求的表达式；
（III）设为数列的前项和，若对恒成立，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（III）m的最小值为7

本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。
（1）运用赋值法，令x=y=0时，则由已知有，
可解得f (0)=0．
再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，
∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数
（2）令x=a_n，y= -a_n，于是，
由已知得2f (a_n)="f" (a_n+1)，
∴ ，
从而得到 数列{f(a_n)}是以f(a₁)=为首项，2为公比的等比数列．
∴ 
（3）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.
然后求解和式，得到结论。
解：（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有，
可解得f (0)=0．
再令x=0，y∈(-1，1)，则有，即，
∴  f (x)是(-1，1)上的奇函数．                                           4分
（Ⅱ）令x=a_n，y= -a_n，于是，
由已知得2f (a_n)="f" (a_n+1)，
∴ ，
∴ 数列{f(a_n)}是以f(a₁)=为首项，2为公比的等比数列．
∴                                                8分
（III）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.
∴ T_n= b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n
，
.
∴ .             9分
令
于是，
∴ .
∴ k(n+1)<k(n)，即k(n)在N*上单调递减，         12分
∴ k(n)_max=k(1)=，
∴ ≥即m≥.
∵ m∈N^*，
∴ m的最小值为7．               14分