Question

下列命题：
①函数y=sinx在第一象限是增函数；
②函数y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π；
③函数y=tn

x

2

x的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
④函数y=ln（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

4

），k∈Z；
⑤函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象可由函数y=3sin2x的图象向右平移

π

3

平移得到．
其中正确的命题序号是

③

．

Answer 1

分析：通过举反例可得①不正确；利用函数的图象和性质可得②不正确；
根据y=tanx的图象的对称中心是（

kπ

2

，0），k∈Z，可得③正确；
对于④：利用直接法求解．为了求函数的一个单调递减区间，必须考虑到1+2cos2x＞0并且使得内函数u=1+2cos2x是减函数才行，据此即可求得单调区间，从而进行判断；
根据利用左加右减上加下减的平移原则，直接求出函数y=3sin2x的图象经过平移而得到，函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象的方法，可得⑤不正确．

解答：解：由于390°＞30°，且都是第一象限角，sin390°=sin30°=

1

2

，
故函数y=sinx在第一象限不是增函数，故①不正确．
函数y=|cosx+

1

2

|的图象如下，故函数y=|cosx+

1

2

|的周期为2π，故②不正确；

对于③：由于函数y=tanx的图象的对称中心是（

kπ

2

，0），k∈Z，
令

x

2

=

kπ

2

，∴x=kπ，故函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z，正确．
④∵1+2cos2x＞0且使得函数u=1+2cos2x是减函数，
∴2kπ≤2x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）⇒kπ≤x＜

π

3

+kπ，
故函数y=ln（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

3

），k∈Z，④不正确．
⑤：函数y=3sin2x的图象经过向左平移

π

6

，而得到函数y=3sin[2（x+

π

6

）]=3sin（2x+

π

3

），就是函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象，故⑤不正确．
故答案为：③．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．