Question

给出下列命题：
①函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
②函数y=sin(x+

π

4

)在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
③直线x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)图象的一条对称轴；
④若cosx=-

1

3

，x∈(0，2π)，则x=arcos（-

1

3

）或π+arcos（-

1

3

）
其中正确的命题的序号是：

①③

．

Answer 1

分析：化简函数y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，是偶函数，故①正确．由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得y=sin(x+

π

4

) 的增区间，可得②不正确．
③由于当x=

π

8

时，函数取得最小值，故直线x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)图象的一条对称轴，故③正确．④有条件求得 x=π-arccos

1

3

，故④不正确．

解答：解：①由于函数y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，是偶函数，故①正确．
②由于函数y=sin(x+

π

4

)，由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函数的增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈z．故②不正确．
③由于当x=

π

8

时，函数y=sin(2x+

5π

4

)=-1，是函数的最小值，故直线x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)图象的一条对称轴，故③正确．
④若cosx=-

1

3

，x∈(0，2π)，则 x=arccos（-

1

3

）=π-arccos

1

3

，故④不正确．
故答案为 ①③．

点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，反余弦函数的定义，判断命题的真假，属于中档题．