Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，圆G：（x-1）²+y²=1若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作椭圆C右准线的垂线，垂足为H，则$\frac{PQ}{PH}$的取值范围为$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．

Answer 1

分析 如图所示，由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得焦点F，离心率e=$\frac{1}{3}$，准线方程．由圆G：（x-1）²+y²=1，可得圆心G，因此圆心即焦点．可得$\frac{|PG|}{|PH|}$=$\frac{1}{3}$．由切线的性质可得：|PQ|=$\sqrt{|PG{|}^{2}-1}$．于是$\frac{|PQ|}{|PH|}$=$\sqrt{（\frac{|PG|}{|PH|}）^{2}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$．由于6≤|PH|≤12，即可得出．

解答 解：如图所示，
由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得焦点F（1，0），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，准线方程为：x=9．
由圆G：（x-1）²+y²=1，可得圆心G（1，0），因此圆心即焦点．
∴$\frac{|PG|}{|PH|}$=$\frac{1}{3}$．
由切线的性质可得：|PQ|=$\sqrt{|PG{|}^{2}-1}$．
∴$\frac{|PQ|}{|PH|}$=$\frac{\sqrt{|PG{|}^{2}-1}}{|PH|}$=$\sqrt{（\frac{|PG|}{|PH|}）^{2}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$．
∵6≤|PH|≤12，
∴$\frac{1}{1{2}^{2}}≤\frac{1}{|PH{|}^{2}}≤\frac{1}{{6}^{2}}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．
∴$\frac{PQ}{PH}$的取值范围为$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．
故答案为：$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．