Question

【题目】已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（e+ ,+∞）
【解析】解：f（x）= ，

当x≥0时，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，

当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex，

∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．

当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）= ．

令f（x）=λ，

又f（x）≥0，f（0）=0，

则当λ＜0时，方程f（x）=λ无解；

当λ=0或λ＞ 时，方程f（x）=λ有一解；

当λ= 时，方程f（x）=λ有两解；

当0＜λ＜ 时，方程f（x）=λ有三解．

∵g（x）=f2（x）﹣tf（x）=﹣1有四个不同的实数解，

∴关于λ的方程λ2﹣tλ+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，

∴ ，解得t ．

所以答案是（e+ ，+∞）．