Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=

3

2

c，则ab的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．根据△ABC的面积为S=

1

2

ab•sinC=

3

2

c，求得c=

1

2

ab．再由余弦定理化简可得

1

4

a²b²=a²+b²+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．

解答： 解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．
由于△ABC的面积为S=

1

2

ab•sinC=

3

4

ab=

3

2

c，∴c=

1

2

ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得

1

4

a²b²=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，
故答案为：12．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．