Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

5

3

，设其左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B₁，△B₁F₁F₂的面积为2

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点，设

OS

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|

OS

|=|

AB

|）？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得S△B1F1F2=

1

2

×2c×b=2

5

，e=

c

a

=

5

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）若存在l，使得|

OS

|=|

AB

|，则四边形OASB为矩形，设l的方程为y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，由此利用韦达定理能求出存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，使得四边形OASB的对角线相等．

解答： 解：（Ⅰ）∵△B₁F₁F₂的面积为2

5

，∴S△B1F1F2=

1

2

×2c×b=2

5

，
又∵e=

c

a

=

5

3

，解得c²=5，a²=9，b²=4，
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）∵

OS

=

OA

+

OB

，∴四边形OASB为平行四边形，
若存在l，使得|

OS

|=|

AB

|，则四边形OASB为矩形，
∴

OA

•

OB

=0．（7分）
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
∴

OA

•

OB

=

16

9

＞0，与

OA

•

OB

=0矛盾，故l斜率存在   …（8分）
若l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
依题意△＞0恒成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

9k2+4

，②…（11分）
把①、②代入x₁x₂+y₁y₂=0，得k=±

3

2

，
∴直线l的方程为y=±

3

2

(x-2)，即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，
综上，存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0，
使得四边形OASB的对角线相等．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理，向量等知识点的合理运用．