题目内容
已知两定点A（-2，0），B（2，0），若直线上存在点P，使得|PA|-|PB|=2，则称该直线为“优美直线”，给出下列直线：①y=x+1②y=
x+2③y=-x+3④y=-2x-1．其中是“优美直线”的序号是（ ）
| 3 |
| A、①④ | B、③④ | C、②③ | D、①③ |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据双曲线的定义，可求得点P的轨迹方程，从而可利用双曲线的性质结合新定义“优美直线”即可获得答案．
解答：
解：∵两定点M（-2，0），N（2，0），直线上存在点P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x2-
=1（x≥1），
∴其渐近线方程为：y=±
x，
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜
，
∴该直线与双曲线x2-
=1（x≥1）有交点，
∴该直线是“优美直线”；
对于②，∵y=
x+2经过（0，2）且斜率k=
，显然该直线与其渐近线方程y=
x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“优美直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3 经过（0，3）且斜率k=-1＞-
，
∴该直线与双曲线x2-
=1（x≥1）有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x-1的斜率k=-2＜-
，
∴该直线与双曲线x2-
=1（x≥1）无交点，
综上所述，①③符合．
故选D．
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x2-
| y2 |
| 3 |
∴其渐近线方程为：y=±
| 3 |
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜
| 3 |
∴该直线与双曲线x2-
| y2 |
| 3 |
∴该直线是“优美直线”；
对于②，∵y=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴该直线不是“优美直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3 经过（0，3）且斜率k=-1＞-
| 3 |
∴该直线与双曲线x2-
| y2 |
| 3 |
同理可得，④y=-2x-1的斜率k=-2＜-
| 3 |
∴该直线与双曲线x2-
| y2 |
| 3 |
综上所述，①③符合．
故选D．
点评：本题考查双曲线的概念与性质，考查其渐近线方程的应用，突出转化思想与分析应用能力的考查，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F是G的真子集，若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”，已知函数f（x）=（
）x（x≤0），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、g（x）=（
| ||
| B、g（x）=2|x| | ||
| C、g（x）=log2|x| | ||
D、g（x）=log
|
四棱锥S-ABCD中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则直线EF与底面ABCD所成的角正切值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
集合P中的元素都是整数，并且满足条件：
①P中有正数，也有负数；
②P中有奇数，也有偶数；
③-1∉P；
④若x，y∈P，则x+y∈P．
下面判断正确的是（ ）
①P中有正数，也有负数；
②P中有奇数，也有偶数；
③-1∉P；
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下面判断正确的是（ ）
| A、0∉P，2∈P |
| B、0∈P，2∈P |
| C、0∈P，2∉P |
| D、0∉P，2∉P |
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在平面向量集V上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个平面向量
=（a1，b1），
=（a2，b2）（a1，b1，a2，b2∈R）“
?
”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2，且b1＞b2”时成立．下面命题为假命题的是（ ）
| v1 |
| v2 |
| v1 |
| v2 |
| A、（1，0）?（0，1）?（0，0） | ||||||||||||||
B、若
| ||||||||||||||
C、若
| ||||||||||||||
D、对于平面向量
|
| ∫ | 2 1 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、
|
在函数y=cosx（x∈[-
数列{an}的通项公式为an=4n-1，则bk=
（a1+a2+…+ak）（k∈N*）所确定的数列{bn}的前n项和为（ ）
| 1 |
| k |
| A、n2 |
| B、n（n+1） |
| C、n（n+2） |
| D、n（2n+1） |