Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1,+∞）上的单调性,并予以证明．

Answer 1

（１）；（２）奇函数；（３）略

（1） 
f（x）的定义域为-----------------------（3分）
（2）
对定义域内的任意恒成立，所以函数为奇函数-----------------------（3分）
（3）法一：求导得，
①当时，在上都是减函数；
②当时，上都是增函数；
法二：设，任取，


==．-------------------（9分）
∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0．又∵x₁＜x₂,∴x₁－x₂＜0．
∴＜0,即，
当a＞1时,y=log_ax是增函数,∴log_a＜log_a,   
即f（x₂）＜f（x₁）;
当0＜a＜1时,y=log_ax是减函数,
∴log_a<log_a, 即f（x₂）＞f（x₁）．
综上可知,当a＞1时,f（x）=log_a在（1,+∞）上为减函数;
当0＜a＜1时,f（x）=log_a在（1,+∞）上为增函数．-----------------------（12分）