Question

若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为8、12，则平行于两条对角线的截面四边形的周长的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：假设abcd是截面四边形，ABCD为平行四边形；ad∥bc∥AC，ab∥dc∥BD，ad=x，cb=y，2（ad+cd）=2（x+y）=L（L为周长），由此能求出周长最大的时候等于2BD，最小的时候等于2AC．

解答： 解：假设abcd是截面四边形，ABCD为平行四边形；
ad∥bc∥AC，ab∥dc∥BD，ad=x，cb=y，2（ad+cd）=2（x+y）=L（L为周长）；

ab

AC

=

Dd

CD

，

cd

BD

=

Cd

CD

，两式相加，得：

ad

AC

+

cd

BD

=

Dd

CD

+

Cd

CD

，
∴

x

8

+

y

12

=

Dd+Cd

CD

=1，
化简，得3x+2y=24
x+2x+2y=x+L=24，
L=24-x
ad=x≤AC，0＜x≤8，
∴16≤L≤24．
总的来说，最大的时候等于2BD，最小的时候等于2AC．
∴平行于两条对角线的截面四边形的周长的
取值范围是[16，24]．
故答案为：[16，24]．

点评：本题考查四边形取值范围的求法，是中档题，解题要认真审题，注意空间思维能力的培养．