Question

设函数 ．
（1） 当时，求函数的极值；
（2）若，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）在（2）的条件下，设是在区间内的零点，判断数列的增减性.

Answer 1

（1）极大值，无极小值；（2）详见解析；（3）数列是单调递减.

试题分析：（1）当时，函数，于是可利用导数研究函数的单调性与极值；
（2）当时，
要证在区间内存在唯一的零点，只要证在区间内单调且即可；
（3）先求和，再根据得到，结合（2）的结论：函数在区间内是单调递增的，从而得到，结论得证.
解：（1）由已知，得：

由得：
当时，单调递增
当时，单调递减
所以是函数的极大值点，无极小值点
故的极大值为，无极小值.
（2）由已知，得：
∴易得：  于是在区间内存在零点；
又当时，恒成立
∴函数在区间内是单调递增的
故在区间内存在唯一的零点．                   （8分）
解:（3）：数列是单调递减的. 理由如下：       （9分）
由（2）设 是在内唯一的零点，
则
又，
于是
即
由（2）在上是单调递增的，
∴当时，．
故数列是单调递减的.                  （14分）