题目内容
已知，向量
=（cosθ，sinθ），向量
=（
，-1）．
（1）
∥
且0≤θ≤π，求sin2θ的值；
（2）f（θ）=|
-
|2，若f（θ）≤m对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．
| a |
| b |
| 2 |
（1）
| a |
| b |
（2）f（θ）=|
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,函数恒成立问题,向量的模,平行向量与共线向量
专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）运用向量共线的坐标表示，及同角的平方关系和二倍角的正弦公式，即可计算得到；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式和正弦函数的值域，求得最大值，由条件可令m不小于最大值即可．
（2）运用向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式和正弦函数的值域，求得最大值，由条件可令m不小于最大值即可．
解答：
解：（1）向量
=（cosθ，sinθ），向量
=（
，-1），
由于
∥
且0≤θ≤π，
则
sinθ=-cosθ，由于sin2θ+cos2θ=1，
解得，sinθ=
，cosθ=-
，
则sin2θ=2sinθcosθ=2×
×(-
)=-2
；
（2）f（θ）=|
-
|2=
2+
2-2
•
=1+5-2（
cosθ-sinθ）
=6-2
（
cosθ-
sinθ）
=6-2
sin（θ-α）（α为辅助角），
由于θ∈R，则sin（θ-α）=-1时，f（θ）取得最大值，且为6+2
，
f（θ）≤m对θ∈R恒成立，即为m≥6+2
．
| a |
| b |
| 2 |
由于
| a |
| b |
则
| 2 |
解得，sinθ=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
则sin2θ=2sinθcosθ=2×
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 2 |
（2）f（θ）=|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
=1+5-2（
| 2 |
=6-2
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
=6-2
| 3 |
由于θ∈R，则sin（θ-α）=-1时，f（θ）取得最大值，且为6+2
| 3 |
f（θ）≤m对θ∈R恒成立，即为m≥6+2
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量共线的坐标表示，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题．
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