Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；
（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）求证：f（m+3）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据存在实数m，使f（m）=-a，得到一元二次方程ax²+bx+c+a=0有实根，用根的根据式列出△=b²-4a（a+c）≥0，再用f（1）=a+b+c=0，得到a＞0＞c且b=（-a-c），代入以上所得的不等式，化简得到b≥0．最后得到二次函数图象开口向上且对称轴在y轴的左边，从而得出f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（2）根据题意得：x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的两根．利用根与系数的关系，将|x₁-x₂|²转化为关于a、c的代数式，再讨论以

c

a

为单位的二次函数，其定义域为[-2，-1]，求得|x₁-x₂|²的最大最小值，从而得到|x₁-x₂|的取值范围；
（3）利用二次函数的零点式，设f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)，再用f（m）=-a代入，得(m-1)(m-

c

a

)=-1＜0，从而得到-2＜

c

a

＜m＜1，所以m+3＞1，再结合f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，得到f（m+3）＞f（1）=0．

解答：解：（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有实根⇒△=b²-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)=0

，
∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再将a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函数f（x）=ax²+bx+c图象开口向上，且关于直线x=-

b

2a

对称
∵-

b

2a

＜0，f（x）在[-

b

2a

，+∞）上是增函数．
∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
（2）根据题意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的两实根．
根据根与系数的关系得：

x1+x2=- 2b a x1•x2= c a

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 4b2 a2 - 4c a = 4 a2 (b2-ac)= 4 a2 [(a+c)2-ac]

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4(

c

a

+

1

2

)2+3.

，

∵a＞b=-（a+c）．
∴2a＞-c＞0⇒

c

a

＞-2，又a+c=-b≤0，
∴

c

a

≤-1⇒(

c

a

+

1

2

)2∈[

1

4

，

9

4

)．
∴|x1-x2|∈[2，2

3

)，…．（8分）
（3）∵f(1)=0．设f(x)=a(x-1)(x-

c

a

)．
∵f（m）=-a，
∴a(m-1)(m-

c

a

)=-a

⇒(m-1)(m- c a )=-1＜0

，
∴

c

a

＜m＜1⇒m＞-2⇒m+3＞1
∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）

点评：本题考查了函数的单调性、二次函数的值域、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系和二次函数零点的分布和根与系数的关系等知识点，是一道难题．