某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时.发现以下三个式子均是正确的:①$\sqrt{1}$+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{2}$,②$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$＜2$\sqrt{3}$,③$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＜2$\sqrt{4}$(1)已知$\sqrt{2}∈.$\sqrt{3}∈.$\sqrt{5}∈.请从以上三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①$\sqrt{1}$+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{2}$；②$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$＜2$\sqrt{3}$；③$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＜2$\sqrt{4}$
（1）已知$\sqrt{2}∈（1.41$，1.42），$\sqrt{3}∈（1.73$，1.74），$\sqrt{5}∈（2.23$，2.24），请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性（注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明之．

分析（1）结合此范围，验证其正确性，
（2）一般结论为：若n∈N^*，则$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，用分析法和综合法即可证明．

解答解：（1）验证①式成立：∵$\sqrt{3}＜1.74$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2.74$，
∵$\sqrt{2}＞1.41$，
∴$2\sqrt{2}＞2.82$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2\sqrt{2}$
（2）一般结论为：若n∈N^*，则$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，证明如下：
证法一：要证：$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$
只需证：${（\sqrt{n}+\sqrt{n+2}）^2}＜{（2\sqrt{n+1}）^2}$
即证：$2n+2+2\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜4n+4$
也就是证：$\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜n+1$
只需证：n（n+2）＜n²+2n+1
即证：0＜1，显然成立
故$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，
证法二：$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$=$\frac{{（\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}）（\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1）}}}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
=$\frac{{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∵n∈N^*，$\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}＞$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞0$，
∴$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}＜$$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∴$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$

点评本题考查了分析法和综合法，关键掌握证明格式，属于中档题．

练习册系列答案

一通百通小学毕业升学模拟测试卷系列答案

真题集训小学期末全程测试卷系列答案

100分闯关考前冲刺全真模拟系列答案

启航学期总动员系列答案

全国历届中考真题分类一卷通系列答案

考卷王单元检测评估卷系列答案

心算口算巧算一课一练系列答案

典元教辅小学毕业升学必备小升初押题卷系列答案

金榜夺冠真题卷系列答案

小升初综合素质检测卷系列答案

相关题目

5．△ABC内有一点P，且P为△ABC三条中线的交点，则点P为△ABC的（　　）

6．已知双曲线C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
（1）求双曲线C与其渐近线的方程；
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）．求直线l的方程．

某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：
（1）求这部分学生成绩的样本平均数$\overline x$和样本方差s²（同一组数据用该组的中点值作为代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，该校高二学生在这次测验中的数学成绩X服从正态分布$N（\overline x，{s^2}）$．
①利用正态分布，求P（X≥129）；
②若该校高二共有1000名学生，试利用①的结果估计这次测验中，数学成绩在129分以上（含129分）的学生人数．（结果用整数表示）
附：①$\sqrt{210}$≈14.5②若X～N（μ，σ²），则P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

10．甲、乙、丙三人中只有一人去游览过黄鹤楼，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．事实证明：三人中，只有一人说的是假话，那么游览过黄鹤楼的人是（　　）

20．m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　）

	A．	若m∥α，m∥β，则α∥β		B．	若m⊥α，α⊥β，则 m∥β
	C．	若m?α，m⊥β，则 α⊥β		D．	若m?α，α⊥β，则 m⊥β

7．设a=0.99^1.01，b=1.01^0.99，c=log_1.010.99，则（　　）

某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为$\frac{π}{4}$的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；
（2）角α取何值时，水池的面积 S最大，并求出这个最大面积．

5．对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为a、b、c，则（　　）