某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时.发现以下三个式子均是正确的:①$\sqrt{1}$+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{2}$,②$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$＜2$\sqrt{3}$,③$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＜2$\sqrt{4}$(1)已知$\sqrt{2}∈.$\sqrt{3}∈.$\sqrt{5}∈.请从以上三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①$\sqrt{1}$+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{2}$；②$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$＜2$\sqrt{3}$；③$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＜2$\sqrt{4}$
（1）已知$\sqrt{2}∈（1.41$，1.42），$\sqrt{3}∈（1.73$，1.74），$\sqrt{5}∈（2.23$，2.24），请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性（注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明之．

分析（1）结合此范围，验证其正确性，
（2）一般结论为：若n∈N^*，则$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，用分析法和综合法即可证明．

解答解：（1）验证①式成立：∵$\sqrt{3}＜1.74$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2.74$，
∵$\sqrt{2}＞1.41$，
∴$2\sqrt{2}＞2.82$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2\sqrt{2}$
（2）一般结论为：若n∈N^*，则$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，证明如下：
证法一：要证：$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$
只需证：${（\sqrt{n}+\sqrt{n+2}）^2}＜{（2\sqrt{n+1}）^2}$
即证：$2n+2+2\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜4n+4$
也就是证：$\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜n+1$
只需证：n（n+2）＜n²+2n+1
即证：0＜1，显然成立
故$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，
证法二：$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$=$\frac{{（\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}）（\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1）}}}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
=$\frac{{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∵n∈N^*，$\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}＞$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞0$，
∴$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}＜$$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∴$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$

点评本题考查了分析法和综合法，关键掌握证明格式，属于中档题．

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