Question

6．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的直角坐标方程为（x+1）²+（y-1）²=2，直线l过点（-1，0），且斜率为$\frac{1}{2}$，射线OM的极坐标方程为θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆C的直角坐标方程，能求出圆C的极坐标方程；先求出直线的直角坐标方程，由此能出直线的极坐标方程．
（2）把θ=$\frac{3π}{4}$代入圆C和直线l，能求出P、Q的坐标，由此能求出线段PQ的长．

解答 解：（1）∵曲线C的直角坐标方程为（x+1）²+（y-1）²=2，
∴x²+y²+2x-2y=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即ρ+2cosθ-2sinθ=0，即$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
∵直线l过点（-1，0），且斜率为$\frac{1}{2}$，
∴直线l的直角坐标方程为y=$\frac{1}{2}$（x+1），即x-2y+1=0，
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）∵射线OM的极坐标方程为θ=$\frac{3π}{4}$．射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，
∴当$θ=\frac{3π}{4}$时，|OP|=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为P（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
|OQ|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴Q点坐标为Q（$\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{3π}{4}$），
∴线段PQ的长为：2$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查曲线和直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．