Question

13．离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$或${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． x²+4y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$或$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 根据题意，按椭圆的焦点在x轴与y轴上不同分2种情况讨论，分别求出椭圆的方程，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若要求椭圆的焦点在x轴上，
若椭圆过点（2，0），则a=2，
又由其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
此时椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
②、若要求椭圆的焦点在y轴上，
若椭圆过点（2，0），则b=2，
又由其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
b²=a²-c²=a²-$\frac{3{a}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$=4，
即a²=16，
此时椭圆的方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故要求椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，注意要先分析明确椭圆的焦点的位置．