Question

18．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线x-$\sqrt{3}$y+2=0相切
（1）求圆C的方程
（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为（a，0），则2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，求出a=2，由此能求出圆C的方程．
（2）假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，则有（m-2）²+n²=4．且0≤m≤4，原点到直线l：mx+ny=1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$，由此能求出存在点M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积取最大值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线x-$\sqrt{3}$y+2=0相切，
∴设圆心坐标为（a，0），则2=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$，
由a＞0，解得a=2，
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=4．
（2）假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，
则有（m-2）²+n²=4．
n²=4-（m-2）²=4m-m²，且0≤m≤4，
又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，
解得$\frac{1}{4}＜m≤4$，
∵|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\sqrt{{d}^{2}-{d}^{4}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
∵$\frac{1}{16}≤\frac{1}{4m}＜1$，∴当$\frac{1}{4m}=\frac{1}{2}$时，S_△OAB有最大值，最大面积为$\frac{1}{2}$，
此时n=$±\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴存在点M（$\frac{1}{2}$，$±\frac{\sqrt{7}}{2}$），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积取最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．