Question

（1）已知命题P：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．
（2）已知命题p：方程2x²+ax-a²=0在[-1，1]上有解；命题q：只有一个实数x₀满足不等式x₀²+2ax₀+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）先求出p，q为真命题时的m的范围，再根据复合命题得到p，q一真一假，问题得以解决
（2）先求出p，q为真命题时的m的范围，再根据复合命题得到p，q为假命题，问题得以解决

解答： 解：（1）函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，
∵y=1-2x为减函数，
∴0＜a＜1，
∴命题P为真命题时，0＜a＜1，
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，
∴a=2或

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，
解得-2＜a≤2，
∴命题Q为真命题时，1＜a≤2，
∵P∨Q是真命题，
∴P，Q一真一假，或P，Q均为真
当P为真，Q为假时，a为空集
当P为假，Q为真时，-2＜a≤0，1≤a≤2，
当P，Q均为真时，0＜a＜1
∴实数a的取值范围（-2，2]
（2）由2x²+ax-a²=0得（2x-a）（x+a）=0，
∴x=

a

2

或x=-a，
∴当命题p为真命题时|

a

2

|≤1或|-a|≤1，
∴|a|≤2，
即-2≤a≤2
又“只有一个实数x₀满足不等式x

2 0

+2ax₀+2a≤0”，
即抛物线y=x²+2ax+2a与x轴只有一个交点，
∴△=4a²-8a=0，
∴a=0或a=2．
∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．
∵命题“p或q”为假命题，
∴a＞2或a＜-2．
即a的取值范围为{a|a＞2或a＜-2}．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数恒成立问题，其中根据已知求出命题p和q满足时，参数a的取值范围，是解答本题的关键