Question

已知对于x的所有实数值，函数f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求关于x的方程

x

a+2

=|a-1|+2的根的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先根据f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，判别式小于等于0求得a的范围，进而根据a的范围确定函数x的解析式，根据函数的单调性求得函数的值域．

解答： 解：依题意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-

3

2

≤a≤2．
由

x

a+2

=|a-1|+2可得x=（a+2）（|a-1|+2），
当1≤a≤2时，x=（a+2）（|a-1|+2）=a²+3a+2，单调增
∴x∈[6，12]
当-

3

2

≤a＜1时，x=（a+2）（|a-1|+2）=-a²+a+6，∴x∈[

9

4

，

25

4

）
综合得，x的取值范围为[

9

4

，12]

点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题的关键是求得函数的解析式和在定义域上的单调性．