Question

若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；

（3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点，若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵·················∴椭圆C的方程为：     （2）设Q(x,y)，－5≤x≤5
∴|MQ|²＝(x－2)²＋y²＝x²－4x＋4＋16－x²＝x²－4x＋20
∵对称轴x＝＞5∴当x＝5时，|MQ|²达到最小值，
∴当|MQ|最小时，Q的坐标为(5,0)                  （3）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，P(m,0)(－5≤m≤5)，直线l：y＝k(x－m)
由得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－， ························8¢
∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝－
y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝
∴|PA|²＋|PB|²＝(x₁－m)²＋＋(x₂－m)²＋
＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²
＝(k²＋1)·
∵|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关
∴512－800k²＝0∴k＝±．