Question

已知c＞0且c≠1，设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，q：函数f（x）=

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3

cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上递增．若p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，可得0＜2c-1＜1，解出即可．q：由于函数f（x）=

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cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上递增，可得f′（x）≥0在R上恒成立，可得△≤0，及c＞0且c≠1，解得才范围．若p∧q为假，p∨q为真，则p与q必然一真一假．

解答： 解：设p：指数函数y=（2c-1）^x在R上为减函数，∴0＜2c-1＜1，解得

1

2

＜c＜1．
q：∵函数f（x）=

1

3

cx3-(c-2)x2+(c+1)x-2在R上递增，∴f′（x）=cx²-2（c-2）x+（c+1）≥0在R上恒成立，
又∵c＞0且c≠1，∴△=4（c-2）²-4c（c+1）≤0，解得c≥

4

5

，且c≠1．
若p∧q为假，p∨q为真，则p与q必然一真一假．
∴

1 2 ＜c＜1 0＜c＜ 4 5

或

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c≥ 4 5 c≠1

，
解得

1

2

＜c＜

4

5

或c＞1．
∴c的取值范围是

1

2

＜c＜

4

5

或c＞1．

点评：本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、三次函数的单调性、指数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．