Question

2．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₃=4，a₂+a₄=2，则log₂（$\frac{{S}_{2016}}{{a}_{2016}}$+1）=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2²⁰¹⁵
• D． 2²⁰¹⁶

Answer 1

分析 由等比数列通项公式列出方程组求出首项和公比，利用等比数列前n项和公式、通项公式及对数性质能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₃=4，a₂+a₄=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2}\end{array}\right.$，解得a₁=$\frac{16}{5}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴S₂₀₁₆=$\frac{\frac{16}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{32}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）$，${a}_{2016}=\frac{16}{5}×（\frac{1}{2}）^{2015}$，
∴log₂（$\frac{{S}_{2016}}{{a}_{2016}}$+1）=log₂（$\frac{\frac{32}{5}（1-\frac{1}{{2}^{2016}}）}{\frac{16}{5}×（\frac{1}{2}）^{2015}}+1$）=$lo{g}_{2}{2}^{2016}$=2016．
故选：B．

点评 本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式、通项公式及对数性质的合理运用．