Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：； （2）求证：；
（3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.

Answer 1

（1）根据三视图还原几何体，并能结合向量的知识建立空间直角坐标系，借助于法向量来得到证明。
（2）对于线面的垂直的证明，一般通过线线垂直的证明来得到线面垂直。
（3）

试题分析：解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ，   2分
∵，，，∴
∵，，
∴  4分
（2），
，又
           8分
（3）设为上一点，为的中点，，，
设平面的一个法向量为，则有
，则有
∴，得，
∴，…10分
//平面，，于是
解得：                                  12分
平面，//平面，此时，
                           14分
（注：此题用几何法参照酌情给分）
点评：主要是考查了空间中的线面的平行和垂直的证明，熟练的掌握判定定理和性质定理是结题的关键，属于基础题。