Question

对于满足-1≤p≤3的所有实数p，函数y=x²+（p-5）x-p+4＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,不等式的解法及应用

分析：把不等式x²+（p-5）x-p+4＞0恒成立转化为p（x-1）+x²-5x+4＞0在-1≤p≤3时恒成立，然后由关于p的一次函数列式得答案．

解答： 解：由x²+（p-5）x-p+4＞0，
得p（x-1）+x²-5x+4＞0，
对于满足-1≤p≤3的所有实数p，函数y=x²+（p-5）x-p+4＞0恒成立，
等价于p（x-1）+x²-5x+4＞0在-1≤p≤3时恒成立，
令f（p）=p（x-1）+x²-5x+4，
要使p（x-1）+x²-5x+4＞0在-1≤p≤3时恒成立，
则

f(-1)=-(x-1)+x2-5x+4＞0 f(3)=3(x-1)+x2-5x+4＞0

，
解得：x＜1或x＞5．
故实数x的取值范围为：（-∞，1）∪（1，5）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是更换主元，是中档题．