Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2+2S_n=3a_n（n∈N^*．数列b_n=

1，n=1 an-1 n ，n≥2

（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）若对于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式、等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）bn=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，可得n=1时，1=b₁≥2λ，解得λ≤

1

2

；n≥2时，

2×3n-2

n

≥（1+n）λ，化为λ≤

2×3n-2

n(n+1)

．令f（n）=

2×3n-2

n(n+1)

，利用其单调性即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，2+2a₁=3a₁，解得a₁=2．
当n≥2时，满足2+2S_n=3a_n（n∈N^*），2+2S_n-1=3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴

an

an-1

=3．
∴数列{a_n}为以2为首项，公比为3的等比数列．
（2）bn=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，
①n=1时，1=b₁≥2λ，解得λ≤

1

2

；
②n≥2时，

2×3n-2

n

≥（1+n）λ，化为λ≤

2×3n-2

n(n+1)

．
令f（n）=

2×3n-2

n(n+1)

，
则f（n+1）-f（n）=

4×3n-2(n-1)

n(n+1)(n+2)

≥0，（n≥2）．
∴f（n）（n≥2）为递增数列f（n）_min=

1

3

（n≥2），从而λ≤

1

3

．
由①，②知λ≤

1

3

．
∴λ的最大值为

1

3

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．