Question

19．已知：已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
（1）若a=1，求f（x）的极值；
（2）当0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]上的最小值为-$\frac{16}{3}$，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，求导后分析函数的单调性，进而可得f（x）的极值；
（2）当0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=-$\frac{16}{3}$，求出a值后，可得f（x）在该区间上的最大值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）当a=1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，f'（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2）----（2分）
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调减	$-\frac{7}{6}$	单调增	$\frac{10}{3}$	单调减

所以，f（x） 的极大值为$\frac{10}{3}$，f（x） 的极小值为$-\frac{7}{6}$．--------------------------（7分）
（2）令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{2}$；
f（x） 在（-∞，x₁），（x₂，+∞） 上单调递减，在（x₁，x₂） 上单调递增，-------------（10分）
当0＜a＜2 时，有x₁＜1＜x₂＜4，
所以f（x） 在[1，4]上的最大值为f（x₂），
f（4）＜f（1），
所以f（x） 在[1，4]上的最小值为$f（4）=8a-\frac{40}{3}=-\frac{16}{3}$，
解得：a=1，x₂=2．
故f（x） 在[1，4]上的最大值为$f（2）=\frac{10}{3}$．-------------------（14分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上的函数的最值，难度中档．