Question

设奇函数f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为π，则（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  2

  ）上单调递减
• B、f（x）在（0，

  π

  2

  ）上单调递增
• C、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上单调递减
• D、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）上单调递增

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和公式对函数进行化简，利用最小正周期求得ω，根据函数为奇函数推断出φ-

π

6

=kπ，进而根据φ的范围求得φ，得到函数的解析式，最后利用三角函数的性质求得函数的单调增和单调减区间，对A，B，C，D选项验证即可．

解答：解：f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）=2sin（

π

6

-ωx-φ）=-2sin（ωx+φ-

π

6

），
T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵f（x）为奇函数，
∴φ-

π

6

=kπ，
∴φ=kπ+

π

6

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=-2sin2x，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，单调递减区间[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z
故选D．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题的关键是利用已知条件求函数的解析式．