Question

已知函数f（x）=cosxsin²x，下列结论中错误的是（　　）

• A、f（x）既是偶函数又是周期函数
• B、f（x）最大值是1
• C、f（x）的图象关于点（

  π

  2

  ，0）对称
• D、f（x）的图象关于直线x=π对称

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．

解答：解：A，∵f（x）=cosxsin²x，
∴f（-x）=cos（-x）sin²（-x）=cosxsin²x=f（x），
∴f（x）是偶函数；
又f（x+2π）=cos（x+2π）sin²（x+2π）=cosxsin²x=f（x），
f（x）是周期函数；
∴f（x）既是偶函数又是周期函数，即A正确；
B，∵|cosx|≤1，|sin²x|≤1，二者不能同时取到等号，
∴无论x取什么值，f（x）=cosxsin²x均取不到值1，故B错误；
C，∵f（x）+f（π-x）=cosxsin²x+cos（π-x）sin²（π-x）=cosxsin²x-cosxsin²x=0，
∴f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，即C正确；
D，∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin²（2π-x）=cosxsin²x=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=π对称，即D正确．
综上所述，结论中错误的是：B．
故选：B．

点评：本题考查三角函数的性质，着重考查函数的周期性、奇偶性、对称性及最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．