Question

15．已知P是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的任一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点，从焦点F₁引∠F₁QF₂的角平分线的垂线，垂足为M，则P，M两点间的最大距离为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 点F₁关于∠F₁QF₂的角平分线QM的对称点N在直线F₂Q上，故|F₂N|=|QF₂|+|QF₁|=1，又OM是△F₂F₁N的中位线，故|OM|=$\frac{1}{2}$，由此可以判断出点M的轨迹，进而可求P，M两点间的最大距离．

解答 解：如图，由椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，得F₁（-1，0），F₂（1，0）．

∴双曲线的焦点坐标也为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
点F₁关于∠F₁QF₂的角平分线QM的对称点N在直线F₂PQ上，
故|F₂N|=|QF₂|+|QF₁|=1，
又OM是△F₂F₁N的中位线，故|OM|=$\frac{1}{2}$，
∴点M的轨迹是以原点为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的圆，
∴P是椭圆长轴的一个端点时，P，M两点间的距离最大，最大值为$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题给出椭圆上动点P，求点M的轨迹方程，着重考查了椭圆、双曲线的定义和简单几何性质，以及等腰三角形“三线合一”等知识，属于中档题．