Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用最值求出A，利用周期求出ω，利用特殊点，求出φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的性质，求函数f（x）的单调递增区间和对称中心．

解答 解：（1）显然A=2，又图象过（0，1）点，∴f（0）=1，
∴sin φ=$\frac{1}{2}$，∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$；
由图象结合“五点法”可知ω•$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2π，得ω=2．
所以所求的函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．（6分）
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得函数f（x）的单调递增区间[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）；
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$，$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，对称中心$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0）（k∈Z）$．

点评 本题考查三角函数的图形与性质，考查三角函数解析式的求解，属于中档题．