Question

3．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点．证明：（1）BD₁⊥AC；（2）BD₁⊥EB₁．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，可求$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），由$\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=0，即可证明BD₁⊥AC．
（2）由（1）可求$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），由$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=0，即可证明BD₁⊥EB₁．

解答 证明：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），B₁（1，1，1），
（1）$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=（-1）×（-1）+（-1）×1+1×0=0，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$
∴BD₁⊥AC．
（2）$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-1）×$\frac{1}{2}$+（-1）×$\frac{1}{2}$+1×1=0，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$⊥$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，
∴BD₁⊥EB₁．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，建立空间直角坐标系，用向量求解是解题的关键，属于中档题．